Excelle en maths Excelle en maths & aux concours. Épate Parcoursup.

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Excelle en maths & aux concours. Épate Parcoursup.

Mathématiques · MP · 2e année

Convexité
Espaces vectoriels normés
Topologie : ouverts, fermés, compacité et connexité
Suites et séries numériques
Familles sommables
Suites et séries de fonctions : convergence uniforme
Séries entières
Intégration sur un intervalle quelconque
Convergence dominée et intégrales à paramètre
Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
Équations différentielles linéaires et systèmes différentiels
Calcul différentiel et fonctions de plusieurs variables
Extrema et optimisation
Structures algébriques et arithmétique : compléments
Compléments d’algèbre linéaire : sommes directes et projecteurs
Matrices et déterminants : compléments
Réduction : valeurs propres et vecteurs propres
Diagonalisation et trigonalisation
Polynômes d’endomorphismes et théorème de Cayley-Hamilton
Espaces préhilbertiens réels : compléments
Espaces euclidiens et endomorphismes autoadjoints
Isométries et matrices orthogonales
Dénombrabilité
Espaces probabilisés et probabilités discrètes
Variables aléatoires discrètes et lois usuelles
Couples de variables, indépendance et covariance
Fonctions génératrices
Inégalités de concentration et loi faible des grands nombres

ENS Ulm
Polytechnique
HEC
CentraleSupélec
ESSEC
Mines Paris
ESCP
Ponts ParisTech
EDHEC

Télécom Paris
emlyon
ENSAE
ENS Paris-Saclay
ENS Lyon
Institut Agro
AgroParisTech
ENV Alfort
VetAgro Sup

ENS Ulm
Polytechnique
HEC
CentraleSupélec
ESSEC
Mines Paris
ESCP
Ponts ParisTech
EDHEC

Télécom Paris
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ENS Lyon
Institut Agro
AgroParisTech
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VetAgro Sup

Henri IV
Louis-le-Grand
Ginette
Sorbonne Université
Paris Dauphine
L.AS
Parcoursup
Bac 2027
Mention Très Bien
Parcoursup
Bac 2027
Mention Très Bien

PASS Médecine
Concours Pass
Concours Sésame
Polytech
INSA Lyon
UTC
Bachelor Polytechnique
IESEG
ESSCA
Parcoursup
Bac 2027
Mention Très Bien

Henri IV
Louis-le-Grand
Ginette
Sorbonne Université
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10k+ exercices, colles, annales par filière

Prérequis

Tout Prêt En partie Plus tard

Difficulté

Tout Très facile Facile Moyen Difficile Très difficile Extrême

Exercices Colles Annales Défis

Prérequis

Tout Prêt En partie Plus tard

Type

Tout Maths I Maths II EDHEC EMLYON ECRICOME Oral HEC Oral ESCP

Domaine

Tout Analyse Algèbre Probabilités

Difficulté

Tout Très facile Facile Moyen Difficile Très difficile Extrême

Un mur de fiches d’exercices se remplit sans pause pendant un dézoom continu, avec compteurs d’utilisateurs et notes, la loupe zoome sur un compteur +1k puis sur une note 14/20, les filtres Prérequis et Difficulté de l’app réduisent le mur aux fiches prêtes de niveau Moyen ou Très difficile, puis des petits boutons flottants Exercices, Colles, Annales et Défis défilent sous le mur pendant que la caméra zoome, la main choisit Annales et les boutons disparaissent, la page des annales s’affiche avec ses quatre menus affinés et 24 sujets comme le mur dont un à 74 %, la main filtre le type Maths I et presse l’écrit Maths I 2019 sans l’ouvrir
Énoncé

Pour (u_n) réelle, on note c_n = (u₀ + … + u_n)/(n+1) ses moyennes de Cesàro.

1. (u_n) converge vers l : montrer que c_n → l.

2. La réciproque est-elle vraie ?

3. Si u_n → +∞, montrer que c_n → +∞.

4. Construire (u_n) divergente, non bornée, avec c_n → 0.

Mes réponses

1. On coupe la moyenne en deux : la tête s’écrase en 1/(n+1), la queue est proche de l.

2. Non : u_n = (−1)ⁿ diverge et ses moyennes tendent vers 0.

3. Pour n grand, u_n dépasse tout seuil M, donc c_n ≥ M.

4. u_n = (−1)ⁿ convient : elle diverge et c_n → 0.

Dicter Photo

Note finale

0,0/20

Rang

7

Compte rendu IALes idées sont là, mais la dernière réponse oublie « non bornée » et la troisième manque de rigueur. Pour les contre-exemples, pense pics rares.

On coupe la moyenne en deux : la tête s’écrase en 1/(n+1), la queue est proche de l.
Parfait

Non : u_n = (−1)ⁿ diverge et ses moyennes tendent vers 0.
Correct

Pour n grand, u_n dépasse tout seuil M, donc c_n ≥ M.
À ajuster

u_n = (−1)ⁿ convient : elle diverge et c_n → 0.
Incorrect

L’énoncé apparaît mot à mot, puis les quatre réponses prennent sa place au-dessus des boutons Dicter et Photo, la main les photographie dans un éclair, puis la note 12 sur 20 et le rang 7 s’affichent au-dessus du compte rendu IA et des quatre réponses, chacune avec son badge : parfaite, correcte, à ajuster, incorrecte

correction personnalisée en 30 secondes
ton prof IA avec toi 24h/24

23h11

Tes axes sont justes, mais ça ne prouve rien : la continuité en (0,0) exige f(x_n,y_n) → f(0,0) pour toute suite (x_n,y_n) → (0,0) — pas seulement sur deux droites.

Or avec x_n = 1/n : (x_n,x_n²) → (0,0), mais f(x_n,x_n²) = x_n⁴/(x_n⁴+x_n⁴) = 1/2 ≠ 0 = f(0,0) : f est donc discontinue en (0,0).

Retiens la méthode : pour réfuter, exhibe UNE suite qui contredit la limite ; pour prouver, aucun exemple ne suffit — il faut ε-δ ou un encadrement (gendarmes).
23h11

L’élève tape sa question d’exercice dans sa bulle noire, le prof répond de façon développée (verdict sur sa tentative, point clé calculé, méthode à retenir), puis fondu et nouveau cycle

23h11

Non : sur [0,1], x² ≤ x, donc ta droite passe au-dessus de la courbe et ton triangle déborde — 1/2 surestime l'aire.

L'intégrale, c'est l'aire exacte sous la courbe : F(x) = x³/3 est une primitive de x², donc elle vaut F(1) − F(0) = 1/3 ≈ 0,33.

Retiens l'image : l'intégrale est la limite des aires de rectangles quand leur nombre tend vers +∞ — ton triangle n'est qu'une approximation.
23h11

L’élève tape sa question d’exercice dans sa bulle noire, le prof répond de façon développée (verdict sur sa tentative, point clé calculé, méthode à retenir), puis fondu et nouveau cycle
défie tes amis
sur les exos

12:40

‹

VICTOIRE
Moi

17/20

+18 ELO · total 1 255

Compte rendu IA∧

Excellent duel : raisonnement juste de bout en bout et limite correctement justifiée à la Q2. La conclusion coûte un point — une rédaction en trois temps (résultat, justification, portée) permettrait de viser le 20/20. Les 18 Elo sont mérités.

Énoncé∨

Réponses soumises∨

Corrigé∨

12:40

‹

DÉFAITE
Alex

12/20

−18 ELO · total 1 246

Compte rendu IA∧

Duel compliqué : le passage à la limite oublie le terme constant à la Q2 et la conclusion n'est pas rédigée — 8 points perdus sur la méthode, pas sur les idées. Repasser le cours pas à pas, puis refaire l'exercice en rédigeant chaque étape, serait un bon plan avant la revanche, pour récupérer les 18 Elo.

Énoncé∨

Réponses soumises∨

Corrigé∨

Deux iPhone rejouent un défi terminé : Moi gagne avec 17 sur 20 contre Alex, 12 sur 20.
7.1 Ouverts et fermés

Définition 1. Une partie O de E est dite ouverte si pour tout point x de O, il existe un rayon r > 0 tel que la boule B(x, r) soit contenue dans O.

B(x, r) = { y ∈ E | d(x, y) < r }.

Proposition 1 (caractérisation séquentielle). F est fermé ssi toute suite convergente de F a sa limite dans F.

Démonstration. Soit (x_n) une suite de F convergeant vers l. Si l ∉ F, le complémentaire de F, ouvert, contient une boule B(l, r) disjointe de F : impossible, car x_n ∈ B(l, r) dès un rang N. ■

Théorème 2 (Borel-Lebesgue). De tout recouvrement de K par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Exemple. [0, 1] est compact ; ]0, 1] ne l'est pas : 1/n → 0 ∉ ]0, 1].

Définition
Définir un ouvert de E.

O ouvert ⇔ ∀x ∈ O, ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ O.

Propriété
Caractériser un fermé par les suites.

F fermé ⇔ toute suite de F qui converge a sa limite dans F.

Méthode
Montrer que O est ouvert.

Prendre x ∈ O quelconque, produire r > 0 avec B(x, r) ⊂ O.

Définition
Définir l'adhérence de A.

x ∈ Ā ⇔ toute boule B(x, r) rencontre A.

Théorème
Énoncer Borel-Lebesgue.

K compact : tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini.

Méthode
Caractériser la continuité.

f continue ⇔ l'image réciproque de tout ouvert est ouverte.

Définition
Définir l'intérieur de A.

Int(A) est le plus grand ouvert contenu dans A.

Théorème
Énoncer le théorème de Heine.

f continue sur un compact ⇒ f uniformément continue.

Méthode
Montrer que K n'est pas compact.

Exhiber un recouvrement ouvert sans sous-recouvrement fini.

Définition
Définir un espace connexe.

E connexe ⇔ E n'est pas l'union de deux ouverts disjoints non vides.

Théorème
Compacts en dim. finie ?

En dim. finie : compact ⇔ fermé borné.

Méthode
Montrer que A est dense dans E.

Prouver Ā = E : tout ouvert non vide rencontre A.

Définition
Définir la frontière de A.

Points adhérents à A et à son complémentaire.

Théorème
Énoncer les valeurs intermédiaires.

f continue sur un intervalle : f(I) est un intervalle.

Méthode
Décrire les ouverts de R.

Tout ouvert de R est une union d'intervalles ouverts.

Définition
Définir la boule B(x, r).

B(x, r) = { y ∈ E | d(x, y) < r }.

Un trait noir lit le cours de topologie en PDF, trois passages se surlignent puis deviennent trois flashcards, et un grand mur monochrome de seize fiches apparaît, questions au recto ; il ondule, trois séries isolent chaque catégorie en floutant les autres et voyagent au zoom, puis chaque fiche se retourne sur sa réponse noire, la maîtrise du cours monte à 100% et les fiches s'effacent en cascade

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DIM 1 nov

PC

17 h – 18 h
32^e Marceau Top 50 1487ELO

33^e Claire Top 50 1476ELO

34^e Gaspard Top 50 1466ELO

35^e Fanny Top 50 1455ELO

36^e Ethan Top 50 1444ELO

37^e Jeanne Top 50 1433ELO

38^e Anonyme Top 50 1422ELO

39^e Hugo Top 50 1411ELO

40^e MoiMOI Top 50 1400ELO

41^e Tiago Top 50 1390ELO

Vidéo du classement : la ligne « Moi » grimpe de la 40e à la 32e place par bonds de trois rangs avec un repli à la 35e, parmi 10 joueurs du Top 50.

découvre ton niveau et grimpe dans le classement
tracke tes progrès
Historique
1. Rang 4 Exercice Limites et continuité Solide. 15/20 +12 %
2. Rang 6 Colle Optique géométrique En progrès. 13/20 +8 %
3. Rang 3 Annale Centrale 2022 · Maths 1 Record Meilleure note. 14/20 +21 %
4. Rang 2 Défi Défi du week-end Record Presque parfait. 16/20 +5 %
5. Rang 9 Exercice Séries numériques À revoir. 11/20 -3 %
1. Moyenne +6 pts
2. Précision 85 %
3. Exactitude 94 %
4. Rapidité 78 %
5. Initiatives 81 %
6. Difficulté 73 %
7. École cible 88 %